俄罗斯开始禁止捕鱼的日期是在2015年7月1日，当时俄罗斯总统普京签署了一项法律，规定从2016年1月1日起实施这项措施。

这项法律专门针对的是在俄罗斯专属经济区内进行流网捕鱼的行为。此外，根据报道，早在2016年1月之前，俄罗斯上下议院的议员就已经向议会提出了禁止流网捕鱼的建议，并且得到了政府的支持。因此，可以推断出俄罗斯禁止捕鱼的具体时间是从2016年1月1日开始正式实施的。