凸函数必要条件可以从不同的角度来描述。

从直观上看，凸函数就是图象向上突出来的。从数学条件来看，如果函数f(x)在区间I上二阶可导，那么f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)≤0。此外，如果函数在凸集上可微，那么对于任意的x1，x2∈C，以及0≤θ≤1，都有f(θx1+(1-θ)x2)≤θf(x1)+(1-θ)f(x2)。这是凸函数的一阶条件。

另外，如果函数在开凸集内二阶可微，那么它是内的凸函数的充分必要条件为：在内任意一点处，函数的Hesse矩阵半正定。这是凸函数的二阶条件。